Урок 32. Перевод чисел между системами счисления

Общие сведения:

При программировании мы часто сталкиваемся с необходимостью перевода чисел между системами счисления, по основанию: 2, 4, 8, 16 и 10.

Основание системы счисления указывает какое количество цифр используется в этой системе для написания чисел:

• Привычная нам система счисления по основанию 10 (десятичная система счисления) использует 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. После 9 идёт не цифра, а число 10, состоящее из двух цифр: 1 и 0. Таким образом, мы записываем любые числа, используя указанные цифры в определённой последовательности.
• Система счисления по основанию 2 (двоичная система счисления) использует 2 цифры: 0, 1.
• Система счисления по основанию 4 (четверичная система счисления) использует 4 цифры: 0, 1, 2, 3.
• Система счисления по основанию 8 (восьмеричная система счисления) использует 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
• Система счисления по основанию 16 (шестнадцатеричная система счисления) использует 16 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. В данном случае, буквы ABCDEF являются цифрами. Цифра A шестнадцатеричной системы, равна числу 10 десятичной системы, цифра B равна числу 11 десятичной системы, ... , цифра F равна числу 15 десятичной системы.

Можно использовать любую систему счисления, например по основанию 12 (счет дюжинами), но наиболее популярными при программировании, являются: десятичная, шестнадцатеричная и двоичная, системы счисления.

Все выше перечисленные системы счисления относятся к позиционным системам. Значение числа зависит не только от того из каких цифр оно состоит, но и в какой последовательности они записаны. Например число 1234 не равно числу 4321.

Методы представления чисел в разных системах счисления:

• двоичная система счисления:
  • (10101)₂ - математическое представление (число)_{основание системы}
  • 0b10101 - представление в скетчах Arduino IDE (число записывается с ведущими символами "0b").
  • B10101 - представление в скетчах Arduino IDE (число до 256 записывается с ведущим символом "B").
• восьмеричная система счисления:
  • (10101)₈ - математическое представление (число)_{основание системы}
  • 010101 - представление в скетчах Arduino IDE (число записывается с ведущим символом "0" ноль).
• десятичная система счисления:
  • (10101)₁₀ - математическое представление (число)_{основание системы}
  • 10101 - представление в скетчах Arduino IDE (число записывается как есть без ведущих символов)
• шестнадцатеричная система счисления:
  • (10101)₁₆ - математическое представление (число)_{основание системы}
  • 0x10101 - представление в скетчах Arduino IDE (число записывается с ведущими символами "0x").

Перевод чисел в десятичную систему счисления:

Для перевода числа из любой системы счисления в десятичную нужно сложить все цифры этого числа, предварительно умножив каждое из них на основание системы счисления, из которой производится перевод, возведя её в степень соответствующую позиции цифры в числе:

Σ(цифра_числа * основание_системы ^{позиция_цифры})

Примеры перевода чисел в десятичную систему счисления:

• (101011)₂ = 1*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ = 32+0+8+0+2+1 = (43)₁₀.
• (1357)₈ = 1*8³ + 3*8² + 5*8¹ + 7*8⁰ = 512+192+40+7 = (751)₁₀.
• (3BC9)₁₆ = 3*16³ + B*16² + C*16¹ + 9*16⁰ = 3*16³ + 11*16² + 12*16¹ + 9*16⁰ = 12288+2816+192+9 = (15305)₁₀.

Перевод чисел из десятичной системы счисления:

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в любую другую, необходимо целочисленно делить переводимое число на основание той системы, в которую мы хотим его перевести, до тех пор пока результат целочисленного деления не станет равен 0. Результатом перевода будут цифры остатка от каждого деления, в обратном порядке.

Примеры перевода чисел из десятичной системы счисления:

• (43)₁₀ перевести в двоичную систему счисления:
  • 43/2 = 21 и 1 в остатке
  • 21/2 = 10 и 1 в остатке
  • 10/2 = 5 и 0 в остатке
  • 5/2 = 2 и 1 в остатке
  • 2/2 = 1 и 0 в остатке
  • 1/2 = 0 и 1 в остатке
  • результат - цифры остатков в обратном порядке = (101011)₂
• (751)₁₀ перевести в восьмеричную систему счисления:
  • 751/8 = 93 и 7 в остатке
  • 93/8 = 11 и 5 в остатке
  • 11/8 = 1 и 3 в остатке
  • 1/8 = 0 и 1 в остатке
  • результат - цифры остатков в обратном порядке = (1357)₈
• (15305)₁₀ перевести в шестнадцатеричную систему счисления:
  • 15305/16 = 956 и 9 в остатке
  • 956/16 = 59 и 12 в остатке - соответствует цифре (C)₁₆
  • 59/16 = 3 и 11 в остатке - соответствует цифре (B)₁₆
  • 3/16 = 0 и 3 в остатке
  • результат - цифры остатков в обратном порядке = (3BC9)₁₆

Простой метод перевода:

Легче всего переводить числа через двоичную систему счисления. О том как это сделать рассказано в нашем видеоуроке.